دخول التلميذدخولسجّل مجانًا

الموضوع النموذجي 8 · رياضيات العام (النوفيام)

على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: زاوية محيطية قائمة ومتوازي مستطيلات.

الموضوع PDFالإصلاح PDF
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.

التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات

3 نقاط

لكلّ سؤال ثلاثة اقتراحات، واحد منها فقط صحيح. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

  1. يمثّل الجدول التالي التكرارات التراكمية الصاعدة لسلسلة إحصائية:
    القيمة1234
    التكرار التراكمي الصاعد5122025
    النسبة المائوية للقيم الأصغر من 2 أو المساوية له هي:
    أ) 48 %ب) 28 %ج) 12 %
  2. العدد ⁦4 × 5²⁰²⁵ + 5²⁰²⁶⁩ يقبل القسمة على:
    أ) 2ب) 4ج) 15
  3. العدد ⁦(√3)¹⁰ × 3⁻⁴⁩ يساوي:
    أ) 3ب) ⁦√3⁩ج) 9
التكرارات التراكمية والموسطقابلية القسمة على 6 أو 12 أو 15قوّة عدد حقيقي دليلها عدد صحيح نسبي
عناصر الإجابة
  • 1) التكرار التراكمي للقيمة 2 هو 12 من مجموع 25، والنسبة ⁦12/25 = 48 %⁩. الجواب (أ).
  • 2) ⁦4 × 5²⁰²⁵ + 5²⁰²⁶ = 5²⁰²⁵ × (4 + 5) = 9 × 5²⁰²⁵ = 15 × 3 × 5²⁰²⁴⁩: يقبل القسمة على 15؛ وهو فردي فلا يقبل القسمة على 2 ولا على 4. الجواب (ج).
  • 3) ⁦(√3)¹⁰ = 3⁵⁩ إذن العدد يساوي ⁦3⁵ × 3⁻⁴ = 3⁩. الجواب (أ).

التمرين 2: قيمة مطلقة وحصر ومتراجحة

3,5 نقاط

نعتبر العدد الحقيقي ⁦a = |√2 − 2| + |3√2 − 4|⁩.

  1. أ) بيّن أنّ ⁦3√2 > 4⁩.
    ب) بيّن أنّ ⁦a = 2√2 − 2⁩.
  2. تحقّق من أنّ ⁦a = 2/(√2 + 1)⁩.
  3. نعلم أنّ 1,41 < √2 < 1,42. أعط حصرًا للعدد a.
  4. أ) حلّ في ℝ المتراجحة ⁦|x − √2| ≤ 1⁩ واكتب مجموعة الحلول في شكل مجال.
    ب) هل يحقّق العدد a هذه المتراجحة؟ علّل.
القيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاحساب عبارات بها جذور تربيعيةالترتيب والجمع في IRالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
  • 1) أ) ⁦(3√2)² = 18⁩ و ⁦4² = 16⁩ و ⁦18 > 16⁩ والعددان موجبان، إذن ⁦3√2 > 4⁩. ب) ⁦√2⁩ < 2 إذن |√2 − 2| = 2 − √2؛ و 3√2 − 4 > 0 إذن ⁦|3√2 − 4| = 3√2 − 4⁩. ومنه ⁦a = 2 − √2 + 3√2 − 4 = 2√2 − 2⁩.
  • 2) ⁦2/(√2 + 1) = 2(√2 − 1)/((√2 + 1)(√2 − 1)) = 2(√2 − 1)/1 = 2√2 − 2 = a⁩.
  • 3) ⁦2,82 < 2√2 < 2,84⁩ إذن ⁦0,82 < a < 0,84⁩.
  • 4) أ) ⁦|x − √2| ≤ 1⁩ تعني ⁦−1 ≤ x − √2 ≤ 1⁩ أي ⁦√2 − 1 ≤ x ≤ √2 + 1⁩: مجموعة الحلول ⁦[√2 − 1 ; √2 + 1]⁩. ب) ⁦a − (√2 − 1) = √2 − 1 > 0⁩ و ⁦(√2 + 1) − a = 3 − √2 > 0⁩، إذن a ينتمي إلى المجال فهو يحقّق المتراجحة.

التمرين 3: عبارة جبرية ومعادلات جذاء منعدم

4,5 نقاط

ليكن x عددًا حقيقيًا. نعتبر العبارة ⁦F = (x + 2)(2x − 5) − (x² − 4)⁩.

  1. بيّن أنّ ⁦F = x² − x − 6⁩.
  2. فكّك ⁦x² − 4⁩ ثمّ استنتج أنّ ⁦F = (x + 2)(x − 3)⁩.
  3. حلّ في ℝ المعادلة ⁦F = 0⁩.
  4. حلّ في ℝ المعادلة ⁦F = −6⁩.
  5. ليكن x عددًا من المجال ⁦[−1 ; 2]⁩. بيّن أنّ F < 0.
الجذاءات المعتبرةالعبارات الجبرية: النشر والتفكيكالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
  • 1) ⁦F = (2x² − 5x + 4x − 10) − x² + 4 = x² − x − 6⁩.
  • 2) ⁦x² − 4 = (x − 2)(x + 2)⁩ إذن ⁦F = (x + 2)[(2x − 5) − (x − 2)] = (x + 2)(x − 3)⁩.
  • 3) ⁦x + 2 = 0⁩ أو ⁦x − 3 = 0⁩: الحلّان ⁦−2⁩ و 3.
  • 4) ⁦x² − x − 6 = −6⁩ تعني ⁦x² − x = 0⁩ أي ⁦x(x − 1) = 0⁩: الحلّان 0 و 1.
  • 5) ⁦−1 ≤ x ≤ 2⁩ إذن ⁦1 ≤ x + 2 ≤ 4⁩ فـ ⁦x + 2 > 0⁩، و ⁦−4 ≤ x − 3 ≤ −1⁩ فـ ⁦x − 3 < 0⁩؛ جذاء عدد موجب قطعًا وعدد سالب قطعًا سالب قطعًا: ⁦F < 0⁩.

التمرين 4: دائرة وزاوية محيطية قائمة

5 نقاط
ABCDOHI

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) في الرسم المقابل (C) دائرة مركزها O وقطرها ⁦[AB]⁩ حيث ⁦AB = 10⁩، و C نقطة من (C) حيث ⁦AC = 6⁩.

  1. بيّن أنّ المثلث ABC قائم في C، ثمّ أحسب BC.
  2. لتكن H المسقط العمودي للنقطة C على (AB).
    أ) بيّن أنّ ⁦CH = 4,8⁩.
    ب) أحسب AH و HB.
  3. لتكن D مناظرة C بالنسبة إلى O. بيّن أنّ D تنتمي إلى (C) وأنّ الرباعي ACBD مستطيل.
  4. لتكن I منتصف ⁦[AC]⁩. بيّن أنّ ⁦(OI) // (BC)⁩ وأنّ ⁦OI = 4⁩، ثمّ استنتج أنّ (OI) ⊥ (AC).
  5. أحسب مساحة المستطيل ACBD.
الرباعيات الخاصّة وخاصيّاتهانظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالعلاقات القياسية في المثلث القائممبرهنة طالس في المثلث
عناصر الإجابة
  • 1) C نقطة من الدائرة التي قطرها ⁦[AB]⁩ و ⁦C ≠ A⁩ و ⁦C ≠ B⁩، إذن الزاوية ACB قائمة⁦. BC² = AB² − AC² = 100 − 36 = 64⁩ إذن ⁦BC = 8⁩.
  • 2) أ) ⁦CH × AB = CA × CB⁩ إذن ⁦CH = 48/10 = 4,8⁩. ب) ⁦AC² = AH × AB⁩ إذن ⁦AH = 36/10 = 3,6⁩، و ⁦HB = 10 − 3,6 = 6,4⁩.
  • 3) ⁦OD = OC = 5 (⁩تناظر مركزي) إذن ⁦D ∈ (C)⁩. قطرا الرباعي ⁦ACBD [AB]⁩ و ⁦[CD]⁩ متناصفان في O ومتقايسان ⁦(10 = 10)⁩، فهو مستطيل.
  • 4) في المثلث ABC: O منتصف ⁦[AB]⁩ و I منتصف ⁦[AC]⁩، إذن ⁦(OI) // (BC)⁩ و ⁦OI = BC/2 = 4⁩. و (BC) ⊥ (AC) إذن (OI) ⊥ (AC).
  • 5) المساحة ⁦= AC × CB = 6 × 8 = 48 cm²⁩.

التمرين 5: متوازي مستطيلات ومثلث قائم بداخله

4 نقاط
ABCDEFGH

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) ABCDEFGH متوازي مستطيلات حيث ⁦AB = 4⁩ و ⁦BC = 12⁩ و ⁦AE = 3⁩.

  1. أحسب AF.
  2. أ) بيّن أنّ المستقيم (FG) عمودي على المستوي (ABF).
    ب) استنتج أنّ المثلث AFG قائم في F، ثمّ أحسب AG.
  3. أحسب AC ثمّ تحقّق من النتيجة السابقة باستعمال المثلث ACG.
  4. أحسب حجم الهرم GABF ثمّ بيّن أنّه يساوي سدس حجم متوازي المستطيلات.
التعامد في الفضاءنظرية بيتاغور وتطبيقاتهاالهرم المنتظم والمخروط الدوراني
عناصر الإجابة
  • 1) ABFE مستطيل و ⁦BF = AE = 3⁩: ⁦AF² = 16 + 9 = 25⁩ إذن ⁦AF = 5⁩.
  • 2) أ) BCGF مستطيل فـ (FG) ⊥ (FB)، و EFGH مستطيل فـ (FG) ⊥ (FE)؛ والمستقيمان (FB) و (FE) متقاطعان في المستوي (ABF)، إذن (FG) ⊥ (ABF). ب) (AF) مستقيم من المستوي (ABF) يمرّ من F، إذن (FG) ⊥ (AF): ⁦AG² = AF² + FG² = 25 + 144 = 169⁩ إذن ⁦AG = 13⁩.
  • 3) ⁦AC² = 16 + 144 = 160⁩، و (CG) ⊥ (AC) إذن ⁦AG² = 160 + 9 = 169⁩: نجد ⁦AG = 13⁩.
  • 4) قاعدة الهرم المثلث ABF القائم في B ومساحته ⁦(4 × 3)/2 = 6⁩، وارتفاعه ⁦FG = 12⁩: ⁦V = (6 × 12)/3 = 24 cm³⁩. حجم متوازي المستطيلات ⁦4 × 12 × 3 = 144⁩ و ⁦144/6 = 24⁩.

موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.

راجع الدروس المعنيّة

لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.

دروس رياضيات التاسعةالمواضيع الرسمية
للأولياء

كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات

  • نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
  • ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
  • في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
  • لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
  • شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).

بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:

  • «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
  • «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
  • «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»

مقالات أخرى في نصائح للأولياء.